Racine et factorisation d'un polynôme (4) - Corrigé

Énoncé

Soit \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par :  \(P(z) = z^3 -8\) .

1. Trouver une racine évidente de \(P\) .

2. En déduire une factorisation de \(P\) dans \(\mathbb{C}\) sous la forme d'un produit de deux polynômes de degré au moins 1.

3. En déduire une factorisation de \(P\) dans \(\mathbb{C}\) sous la forme d'un produit de trois polynômes de degré 1.

Solution

1. `P(2)= 2^3-8=0` , donc `2` est une racine de `P` .

2. On cherche `a` , `b` et `c`   des réels tels que, pour tout `z \in \mathbb{C}` , `P(z) = (z-2)(az^2+bz+c)` .
On trouve  `P(z) = (z - 2) (z^2 + 2 z + 4)` .

3. Après résolution de `z^2 + 2 z + 4 = 0` , on trouve   `P(z) = (z - 2) (z-(-1-i\sqrt{3})) (z-(-1+i\sqrt{3}))` .

Remarque  

Pour `z \in \mathbb{C}` , \(P(z)=0 \iff z^3=8 \iff \left( \dfrac{z}{2} \right)^3 = 1 \iff \dfrac{z}{2} \in \{ 1 ; \text e^{\frac{2i\pi}{3}} ; \text e^{\frac{4i\pi}{3}} \}\) , et on retrouve ainsi la factorisation de `P` .